LV.NOL.2007.12.4 lv
Trijstūra \(ABC\) leņķa \(A\) bisektrise krusto malas \(AB\) vidusperpendikulu punktā \(X\), malas \(AC\) vidusperpendikulu punktā \(Y\), bet \(\triangle ABC\) apvilkto riņķa līniju punktā \(Z\). Punkti \(A,\ X,\ Y,\ Z\) atrodas uz bisektrises šajā secībā. Pierādiet, ka \(AX=YZ\).
Atrisinājums
Tā kā \(AX=BX\), mums pietiek pierādīt, ka \(BX=YZ\). Tas būs pierādīts, ja iegūsim, ka \(\Delta CZY=\Delta ZBX\). Bet tā tas ir, jo (1) \(CZ=ZB\) kā hordas, kas savelk vienādus lokus (\(UCZ=UZB\), jo uz tiem balstās vienādi ievilktie leņķi \(CAZ\) un \(ZAB\));
(2) \(\sphericalangle CYZ=2 \sphericalangle CAY=\sphericalangle CAB\) (ārējais leņķis \(\triangle CYA\)); līdzīgi \(\sphericalangle ZXB=\sphericalangle CAB\). Tātad \(\sphericalangle CYZ=\sphericalangle ZXB\);
(3) \(\sphericalangle CZY=\sphericalangle CZA=\sphericalangle CBA=\sphericalangle ZBX\).
No (2) un (3) seko, ka \(\Delta CZY \sim \triangle ZBX\). Tas kopā ar \(CZ=ZB\) dod vajadzīgo trijstūru vienādību.
