LV.NOL.2007.12.2 lv
Pa apli izvietotas \(n\) spuldzes; sākotnēji tās visas ir izslēgtas. Viena spuldze apzīmēta ar \(S\). Atrodam visus skaitļa \(n\) pozitīvos dalītājus, ieskaitot \(1\) un \(n\). Katram šādam dalītājam \(d\) veicam sekojošu operāciju: mainām katras \(d\)-tās spuldzes stāvokli (sākot ar spuldzi \(S\)), pavisam izdarot \(n\) maiņas. (Piemēram, ja 1.zīm. attēlotajā situācijā pie \(n=6\) ņemts dalītājs \(d=3\), tad pakāpeniski mainīsim spuldžu \(S;\ C;\ S;\ C;\ S;\ C\) stāvokļus.)
Kurām \(n\) vērtībām, beidzot šīs darbības, visas spuldzes būs ieslēgtas?
Atrisinājums
Atbilde: \(n=2^{k},\ k=0;\ 1;\ 2;\ \ldots\).
Risinājums. Ja \(k=0\), tad \(n=1\); vienīgā spuldze tiek ieslēgta, un tālāk nekas netiek darīts. Pie \(n=2^{k}\), \(k \in N\), katram no dalītājiem \(d=2;\ 4;\ 8;\ \ldots;\ 2^{k-1};\ 2^{k}\) atbilstošā maiņu sērija skar katru spuldzi \(0\) vai \(d\) reizes (tātad kopumā neietekmē tās stāvokli), kamēr dalītājam \(1\) atbilstošā sērija maina katras spuldzes stāvokli \(1\) reizi. Tāpēc beigās visas spuldzes būs ieslēgtas.
Ja turpretī skaitlim \(n\) ir kāds nepāra pirmskaitlis \(p\), ar kuru \(n\) dalās, tad \((p+1)\)-ā spuldze (uzskatot \(S\) par pirmo spuldzi) tiks "aizskārta" tieši divas reizes (sērijās, kas atbilst \(n\) dalītājiem \(1\) un \(p\)) un tāpēc beigās paliks izslēgta.