Gunārs un Dzintars pamīšus raksta uz tāfeles pa vienam naturālam skaitlim, kas nepārsniedz \(1000\). Sāk Dzintars, uzrakstot skaitli \(1\). Neviens jau uzrakstīts skaitlis netiek nodzēsts; nevienu skaitli nedrīkst rakstīt otrreiz.
Ja kaut kāds skaitlis \(x\) jau ir uz tāfeles, tad ar kārtējo gājienu drīkst uzrakstīt vai nu \(x+1\), vai \(2x\) (ja izvēlētais rakstāmais skaitlis nepārsniedz \(1000\)). Tas, kurš uzraksta \(1000\), uzvar. Kurš no zēniem uzvar, pareizi spēlējot?
Uzvar Gunārs.
Tā kā pēdējais (uzvarošais) gājiens tiek izdarīts vai nu no pozīcijas \(500\), vai no pozīcijas \(999\), tad zaudē tas, kurš uzraksta vienu no šiem skaitļiem. Pieņemsim, ka zaudētājs uzraksta \(500\). Tas tiek darīts tāpēc, ka citu iespēju (izņemot varbūt rakstīt \(999\)) viņam nav. Tas nozīmē, ka visi skaitļi \(1;\ 2;\ 3;\ \ldots;\ 499\) jau ir uzrakstīti (citādi varētu rakstīt mazāko vēl neuzrakstīto no tiem) un tātad arī divas reizes lielākie skaitļi \(502;\ 504;\ \ldots;\ 998\) ir uzrakstīti; no tā savukārt seko, ka arī \(503;\ 505;\ \ldots;\ 997\) ir jau uzrakstīti. Savukārt \(999\) vēl nav uzrakstīts (citādi spēle būtu beigusies jau ātrāk) un arī \(501\) vēl nav uzrakstīts (citādi jau iepriekš būtu uzrakstīts \(500\), un spēle būtu beigusies ātrāk). Tātad brīdī, kad zaudētājs uzrakstījis \(500\), uz tāfeles atrodas \(997\) skaitļi (ieskaitot \(500\)). Tāpēc skaitli \(500\) uzraksta sācējs, proti, Dzintars. Tāpēc viņš zaudē.
Gadījumu, ja "zaudējošais gājiens" ir \(999\) uzrakstīšana, analizē līdzīgi.