LV.NOL.2006.9.2 lv
Dots, ka \(ABCD\) - paralelograms. Taisne \(t\) ir paralela diagonālei \(BD\) un krusto malu \(AB\) punktā \(M\), bet malu \(AD\) - punktā \(K\). Pierādīt, ka trijstūru \(BMC\) un \(KCD\) laukumi ir vienādi.
Ja nevarat atrisināt uzdevumu vispārīgajā gadījumā, apskatiet gadījumu, kad \(ABCD\) - kvadrāts (protams, iegūto punktu skaits tad būs mazāks).
Atrisinājums
Tā kā \(\Delta KDC\) un \(\triangle KDB\) ir kopīgs pamats \(KD\) un vienādi augstumi pret šo pamatu, tad \(\mathbf{L}(\mathbf{KDC})=\mathbf{L}(\mathbf{KDB})\). Līdzīgi \(\mathbf{L}(\mathbf{BMC})=\mathbf{L}(\mathbf{BMD})\).
Bet \(\triangle KDB\) un \(\triangle BMD\) ir kopīgs pamats \(BD\) un vienādi augstumi pret šo pamatu, tāpēc \(\mathbf{L}(\mathbf{KDB})=\mathbf{L}(\mathbf{BMD})\). No šīm vienādībām seko vajadzīgais.
(Speciālajā kvadrāta gadījumā vajadzīgais seko arī, piemēram, no simetrijas dēļ spēkā esošās vienādības \(\triangle BMC=\Delta DKC\).)