LV.NOL.2006.12.4 lv
Rinķa līnijā ievilkts kvadrāts \(ABCD\). Punkts \(M\) atrodas uz mazākā no lokiem \(CD\) un nesakrīt ne ar \(C\), ne ar \(D\). Taisne \(AM\) krusto taisnes \(BD\) un \(CD\) attiecīgi punktos \(P\) un \(R\). Taisne \(BM\) krusto taisnes \(AC\) un \(DC\) attiecīgi punktos \(Q\) un \(S\). Pierādiet, ka \(PS \perp QR\).
Atrisinājums
Tā kā \(\sphericalangle PMS=\frac{1}{2} \cup AmB=45^{\circ}=\sphericalangle PDS\), tad ap \(PDMS\) var apvilkt riņķa līniju. Tā kā \(\sphericalangle DMS=90^{\circ}\) (balstās uz \(180^{\circ}\) "lielajā" riņķa līnijā), tad arī \(\sphericalangle DPS=90^{\circ}\). Tāpēc \(\mathbf{PS} \perp \mathbf{BD}\). Līdzīgi pierāda, ka \(\mathbf{RQ} \perp \mathbf{AC}\). No izceltajiem faktiem seko vajadzīgais, jo \(BD \perp AC\).