Funkcija \(f(x)\) definēta visiem \(x \geq 0\). Ir zināms, ka funkcijas \(f(x)-x^{3}\) un \(f(x)-3x\) ir augošas visā definīcijas apgabalā. Pierādīt, ka funkcija \(f(x)-x^{2}-x\) ir augoša
(A) segmentā \([0;\ 1]\),
(B) visā definīcijas apgabalā.
(A) pieņemsim, ka \(0 \leq x<y<1\). No dotā \(f(y)-3 y>f(x)-3x\), tāpēc \(f(y)-f(x) \geq 3(y-x)\). Tā kā \(0<x+y+1<3\), tad \(f(y)-f(x) \geq(x+y+1)(y-x)\) jeb \(f(y)-f(x) \geq xy-x^{2}+y^{2}-yx+y-x\), jeb \(f(y)-y^{2}-y \geq f(x)-x^{2}-x\), k.b.j.
(B) pieņemsim, ka \(1 \leq x<y\). Tad no dotā \(f(y)-y^{3}>f(x)-x^{3}\), tāpēc \(f(y)-f(x)>(y-x)\left(y^{2}+xy+x^{2}\right)\).
Tā kā \(y^{2}+xy+x^{2}>y+x+1\), tad \(f(y)-f(x)>(x+y+1)(y-x)\), no kurienes kā (A) gadījumā seko vajadzīgais.
Ja \(f(x)-x^{2}-x\) ir augoša apgabalos \([0;\ 1]\) un \([1;\ \infty)\), tad tā ir augoša arī apgabalā \([0;\ \infty)\)