LV.NOL.2006.11.3 lv
Stars \(t\) ir \(\triangle ABC\) leņķa \(A\) bisektrise. Tā krusto malu \(BC\) punktā \(K\). Punkti \(M\) un \(N\) ir to perpendikulu pamati, kas no \(B\) un \(C\) vilkti pret \(t\) (\(M\) un \(N\) nesakrīt). Tā perpendikula pamats, kas no \(K\) vilkts pret \(AC\), ir \(S\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle MSK=\sphericalangle NSK\).
Atrisinājums
Novelkam perpendikulu \(KT\) pret \(AB\). Tā kā \(\sphericalangle BTK=\sphericalangle BMK\), tad ap \(BTMK\) var apvilkt riņķa līniju. Tāpēc \(\sphericalangle KBM=\sphericalangle KTM\). Simetrijas pēc (attiecībā pret \(AM\)) \(\sphericalangle KTM=\sphericalangle KSM\), tāpēc \(\sphericalangle KBM=\sphericalangle KSM\).
Tā kā \(BM \parallel CN\), tad \(\sphericalangle KBM=\sphericalangle KCN\). Tā kā ap \(CNKS\) var apvilkt riņķa līniju (pretējo leņķu summa ir \(180^{\circ}\)), tad \(\sphericalangle NCK=\sphericalangle NSK\). No šejienes seko vajadzīgais (skat. 10.zīm.).
