Atrisinājums

Ja \(P\) ir \(\triangle ABC\) augstumu krustpunkts, tad (6.zīm.)

\(\sphericalangle AB_{1}B=\sphericalangle AA_{1}B\) (un tātad \(A,\ B,\ A_{1},\ B_{1}\) ir uz vienas riņķa līnijas) un \(\sphericalangle AC_{1}C=\sphericalangle AA_{1}C\) (un tātad \(A,\ C,\ A_{1},\ C_{1}\) ir uz vienas riņķa līnijas). No otras puses, ja uzdevumā minētās divas riņķa līnijas eksistē, tad (7.zīm.) ievilktu leņķu īpašības dēļ \(\sphericalangle A_{1}CC_{1}=\sphericalangle A_{1}AB=\sphericalangle A_{1}B_{1}P\). No šejienes seko, ka \(B_{1},\ C,\ A_{1},\ P\) ir uz vienas riņķa līnijas un tātad \(\sphericalangle \mathbf{CA}_{\mathbf{1}} \mathbf{P}+\mathbf{CCB}_{\mathbf{1}} \mathbf{P}=\mathbf{180}^{\mathbf{o}}\). No tā, ka \(A,\ B_{1},\ A_{1},\ B\) ir uz vienas riņķa līnijas, seko, ka \(\sphericalangle AB_{1}B=\sphericalangle AA_{1}B\) un tātad \(\sphericalangle \mathbf{CB}_{\mathbf{1}} \mathbf{P}=\sphericalangle \mathbf{CA}_{\mathbf{1}} \mathbf{P}\). No abām izceltajām vienādībām seko, ka \(\sphericalangle CB_{1}P=\sphericalangle CA_{1}P=90^{\circ}\), t.i., \(P\) ir \(\triangle ABC\) augstumu krustpunkts.