LV.NOL.2006.10.2 lv
Katram no diviem vienādiem regulāriem \(n\)-stūriem virsotnes kaut kādā kārtībā sanumurētas ar naturāliem skaitļiem no \(1\) līdz \(n\) (katrā \(n\)-stūrī visi numuri ir dažādi).
Noskaidrojiet, vai noteikti katrā \(n\)-stūrī var izvēlēties \(3\) virsotnes tā, ka vienlaicīgi izpildās sekojošas īpašības:
- abos \(n\)-stūros izvēlētas virsotnes ar vieniem un tiem pašiem numuriem,
- pirmajā \(n\)-stūrī izvēlēto virsotņu veidotais trijstūris un otrajā \(n\)-stūrī izvēlēto virsotņu veidotais trijstūris abi ir viena tipa: vai nu abi ir šaurleņķu, vai abi taisnleņķa, vai abi platleņķa.
Atbildiet uz šo jautājumu, ja (A) \(n=5\); (B) \(n=2006\).
Atrisinājums
(A) nē. Skat., piem., 5.zīm.
(B) jā. Apvelkam ap abiem \(2006\)-stūriem riņķa līnijas. Ja eksistē kaut viens skaitļu pāris, kas abos \(2006\)-stūros ir diametra galapunktos, tad par trešajām virsotnēm var ņemt jebkuras ar vienādiem numuriem - abi trijstūri būs taisnleņķa.
Ja tāda pāra nav, tad ņemam divus skaitļus, kas pirmajā \(2006\)-stūrī ir pretējās virsotnēs (pieņemsim, tie ir \(x\) un \(y\)). Pieņemsim, ka skaitlis \(z\) otrā \(2006\)-stūrī ir pretējā virsotnē skaitlim \(x\). Tad skaitļi \(x,\ y,\ z\) ir meklējamie: abi ar tiem sanumurētie trijstūri ir taisnleņķa.