Atrisinājums

(A) Apzīmējot pāra ciparu ar \(p\), bet nepāra ciparu ar \(n\), tieši pārliecināmies, ka virknes sākums ir \(\underline{n\ p\ n\ p\ p}\ \underline{n\ p\ n\ p\ p} \ldots\).

Katru virknes locekli viennozīmīgi nosaka četri iepriekšējie. Redzam, ka virknē ir \(2\) vienādi četru sekojošu burtu fragmenti \(n\ p\ n\ p\). Pēc otrās šī fragmenta parādīšanās virkne "attīstīsies" tāpat kā pēc pirmās; tātad tā ir periodiska ar periodu \((n\ p\ n\ p\ p)\). Tātad virknē nekur pēc kārtas neparādīsies trīs burti \(p\); tāpēc uzdevumā minētajā virknē nekad neparādīsies pēc kārtas sekojoši cipari \(2;\ 0;\ 0;\ 5\).

(B) Ja zināmi četru saskaitāmo summas pēdējais cipars un trīs saskaitāmo pēdējie cipari, tad ceturtā saskaitāmā pēdējais cipars ir noteikts viennozīmīgi.

Aplūkosim visus četru pēc kārtas ņemtu ciparu komplektus tādā secībā, kā tie parādīsies mūsu virknē; daži pirmie komplekti ir \(1234,\ 2340,\ 3409\) utt. Tā kā četru ciparu dažādu komplektu pavisam ir tikai galīgs skaits, tad agri vai vēlu kādam komplektam jāatkārtojas. Aplūkosim pirmo šādu atkārtošanos. Mēs apgalvojam, ka tā var būt tikai komplekta \(1234\) paša pirmā komplekta - atkārtošanās. Tiešām, ja kā pirmais atkārtotos cits komplekts \(\omega\):

\[\ldots \alpha;\ \omega;\ \ldots \ \ldots \ \beta;\ \omega;\ \ldots,\]

tad saskaņā ar augstāk izcelto faktu jābūt \(\alpha=\beta\), un \(\omega\) nebūtu pirmais komplekts, kas atkārtojas - pretruna. Tātad \(1;\ 2;\ 3;\ 4\) noteikti šajā secībā vēl kādreiz parādīsies mūsu virknē.