Skaitļu virknē \(a_{1}; a_{2}; a_{3}; \ldots\) zināms, ka \(a_{1}=60\) un \(a_{n+1}=a_{n}-\frac{1}{a_{n}}\) pie \(n \geq 1\), ja vien \(a_{n}\) ir definēts un \(a_{n} \neq 0\). Pierādīt:
(A) eksistē tāds \(k\), ka \(a_{k} \leq\),
(B) eksistē tāds \(k\), ka \(a_{k} \leq 0\) un \(k \leq 2005\).
(A) Pieņemsim no pretējā, ka visiem naturāliem \(k\) pastāv nevienādība \(a_{k}>0\). Tā kā virkne ir dilstoša, tad \(a_{k} \leq 60\); tāpēc \(a_{n+1} \leq a_{n}-\frac{1}{60}\) visiem \(n\). Tāpēc \(a_{n+1} \leq a_{1}-\frac{n}{60}=60-\frac{n}{60}<0\) pie \(n>3600\) - pretruna.
(B) Pieņemsim no pretējā, ka \(a_{k}>0\) visiem \(k \leq 2005\). Spriežot līdzīgi kā (A) punktā, pakāpeniski iegūstam
\[\begin{array}{ll} a_{301}<60-\frac{300}{60}=55 & a_{1576}<30-\frac{150}{30}=25 \\ a_{576}<55-\frac{275}{55}=50 & a_{1701}<25-\frac{125}{25}=20 \\ a_{826}<50-\frac{250}{50}=45 & a_{1801}<20-\frac{100}{20}=15 \\ a_{1051}<45-\frac{225}{45}=40 & a_{1876}<15-\frac{75}{15}=10 \\ a_{1251}<40-\frac{200}{40}=35 & a_{1976}<10-\frac{100}{10}=0 \text { - pretruna. } \\ a_{1426}<35-\frac{175}{35}=30 & \end{array}\]