Atrisinājums

\(\underline{Atbilde:}\) intervālu \(\left[-\frac{1+\sqrt{5}}{2}; \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]\).

\(\underline{Atrisinājums:}\)

(A) ja \(|p| \leq 1\) un \(|q| \leq 1\), tad vienādojuma \(x^{2}+px+q=0\) reālai saknei \(x_{0}\) ir spēkā \(\left|x_{0}\right|=\left|\frac{-p \pm \sqrt{p^{2}-4q}}{2}\right| \leq\left|\frac{p}{2}\right|+\frac{1}{2} \sqrt{p^{2}-4q} \leq \frac{1+\sqrt{5}}{2}\). Tātad visas saknes pieder minētajam intervālam.

(B) vienādojumu \(x^{2} \pm x-1=0\) saknes ir \(\frac{-1 \mp \sqrt{5}}{2}\) un \(\frac{1 \mp \sqrt{5}}{2}\). Tātad intervāla galapunkti ir vajadzīgā tipa vienādojumu saknes. Pieņemsim, ka \(z \in\left[-\frac{1+\sqrt{5}}{2}; \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]\), tad \(z=\alpha \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}\), kur \(|\alpha| \leq 1\). Apskatām vienādojumu \(x^{2}-\alpha x-\alpha^{2}=0\). Ievērojam, ka \(|-\alpha| \leq 1\) un \(\left|-\alpha^{2}\right| \leq 1\), un šī vienādojuma saknes ir \(\frac{\alpha}{2} \mp \sqrt{\frac{\alpha^{2}}{4}+\alpha^{2}}=\frac{\alpha}{2} \mp|\alpha| \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}\). Tātad viena no tām ir \(\alpha \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}=\mathrm{z}\). Tātad visi apskatāmā intervāla punkti ir vajadzīgā tipa vienādojumu saknes.