LV.NOL.2004.12.2 lv
Dots, ka \(AB\) ir riņķa līnijas \(w_{1}\) diametrs, \(DC \perp AB\), bet riņķa līnija \(w_{2}\) pieskaras \(CD,\ AB\) un riņķa līnijai \(w_{1}\). Apzīmēsim \(w_{2}\) un \(AB\) pieskāršanās punktu ar \(E\) (skat. 2.zīm.).
(A) pieņemot, ka jau pierādīta vienādība \(AC=AE\), pierādīt: \(CE\) ir \(\sphericalangle BCD\) bisektrise,
(B) pierādi vienādību \(AC=AE\).
Atrisinājums
(A) No trijstūra \(\triangle CEB\) pēc ārējā leņķa īpašības \(\sphericalangle CBE+\sphericalangle BCE=\sphericalangle CED\). Pēc pieņēmuma \(\sphericalangle CED=\sphericalangle ACE\), tātad \(\sphericalangle CBE+\sphericalangle BCE=\sphericalangle ACE\). No taisnleņķa trijstūra \(ACB\) seko \(\sphericalangle CBE=\sphericalangle ACD\), tātad \(\sphericalangle ACD+\sphericalangle BCE=\sphericalangle ACE=\sphericalangle ACD+\sphericalangle DCE\), no kurienes seko vajadzīgais (12.zīm.).
(B) Apzīmēsim \(W_{1}\) un \(W_{2}\) rādiusus attiecīgi ar \(R\) un \(r\) (13.zīm.).
Tad \(AE^{2}=(R+OE)^{2}=R^{2}+2R \cdot OE+OE^{2}=\)
\(=R^{2}+2R \cdot OE+\left[(R-r)^{2}-r^{2}\right]=2R^{2}+2R(OE-r)=\)
\(=2R^{2}+2R \cdot OD=2R \cdot AD\)
Savukārt no taisnleņķa trijstūru \(ACB\) un \(ADC\) līdzības seko \(AC:AB=AD:AC\), tāpēc \(AC^{2}=AB \cdot AD=2R \cdot AD=AE^{2}\). Tātad \(AC=AE\).