Ilmārs grib uznest augšā uz dzīvokli \(255\) kg ķirbju. Zināms, ka katrs ķirbis sver ne vairāk kā \(10\) kg. Vienā reizē viņš var uznest patvaļīgu daudzumu ķirbju, kas kopā sver ne vairāk kā \(30\) kg. Kāds ir mazākais reižu skaits, ar kuru Ilmārs noteikti var uznest visus ķirbjus (neatkarīgi no to svara)? Ķirbjus griezt gabalos nedrīkst!
Mazākais skaits ir \(11\) reizes.
Vispirms parādīsim, ka ar \(11\) reizēm noteikti pietiek. Katrā no pirmajām \(10\) reizēm Ilmārs var noteikti paņemt vismaz \(22{,}5\)kg ķirbju. Lai to izdarītu, viņš var sakārtot ķirbjus pēc to svara dilstošā secībā un tad ņemt pēc kārtas, līdz vairāk nevar (paņemot nākamo kopējais svars pārsniegs \(30\)kg). Pamatosim, ka šādā veidā Ilmārs katrā reizē noteikti paņems vismaz \(22{,}5\) kg ķirbju.
Pieņemsim pretējo, ka Ilmārs ir paņēmis mazāk par \(22{,}5\)kg. Tas nozīmē, ka šis te ”nākamais” ķirbis sver vairāk par \(7{,}5\)kg (jo, paņemot to, kopējais svars pārsniegs \(30\)kg). Bet tādā gadījumā arī visi līdz šim paņemtie ķirbji katrs sver vismaz \(7{,}5\)kg (jo tos ņem pēc svara dilstošā secībā). Bet tā kā Ilmārs ir paņēmis vismaz \(3\) ķirbjus (jo neviens ķirbis nav smagāks par \(10\)kg), tad kopā viņš ir paņēmis vismaz \(3\cdot 7{,}5=22{,}5\)kg – pretruna.
Šādā veidā pirmajās \(10\) reizēs Ilmārs kopā var uznest vismaz \(22{,}5\cdot 10=225\)kg ķirbju. Tad pēdējā \(11\). reizē tam atliek ne vairāk par \(255-225=30\)kg.
Tagad pamatosim, ka ar \(10\) reizēm var nepietikt. Aplūkosim gadījumu, kad Ilmāram ir \(31\) ķirbis un tie visi sver vienādi, t.i. katrs ķirbis sver \(\frac{255}{31}=8\frac{7}{31}\)kg. Ja tos varētu uznest ar \(10\) reizēm, tad pēc Dirihlē principa būtu tāda reize, kad būtu jānes vismaz \(4\) ķirbji, bet tas ir vairāk nekā \(30\)kg.