Atrisinājums

Šādu trijnieku ir ļoti daudz, te daži no tiem:

\[ \frac{1}{1296}+\frac{1}{1600}+\frac{1}{1728}=\frac{4}{2025}. \]

\[ \frac{1}{810}+\frac{1}{2025}+\frac{1}{4500}=\frac{4}{2025}. \]

Atrastu šādus trijniekus var palīdzēt šāds novērojums: ja mēs atrodam kādu skaitļu trijnieku \((a',b',c')\), kuram

\[ \frac{1}{a'}+\frac{1}{b'}+\frac{1}{c'}=\frac{4}{n}, \]

kur \(n\) ir kāds skaitļa \(2025\) dalītājs, tad, pareizinot visus trīs skaitļus \(a',b',c'\) ar \(\frac{2025}{n}\), mēs iegūsim prasīto trijnieku \((a,b,c)\). Tas nozīmē, ka sākotnēji var meklēt šādus trijniekus, kur \(2025\) vietā ir kāds mazāks skaitlis \(n\), kas ir \(2025\) dalītājs. Piemēram, paņemsim \(n=5\), tad mums jāatrod skaitļi \(a',b',c'\), kuriem

\[ \frac{1}{a'}+\frac{1}{b'}+\frac{1}{c'}=\frac{4}{5}. \]

Šeit der, piemēram \(a'=2,b'=5,c'=10\), jo

\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}. \]

Pareizinot \(a',b',c'\) ar \(2025/5=405\) iegūsim prasīto trijnieku \((a,b,c)\):

\[ a=2\cdot 405=810 \]

\[ b=5\cdot 405=2025 \]

\[ c=10\cdot 405=4500 \]

\[ \frac{1}{810}+\frac{1}{2025}+\frac{1}{4500}=\frac{4}{5\cdot 405}=\frac{4}{2025}. \]