Atrisinājums

Apzīmēsim trijstūra \(ABC\) pamata pieleņķus \(\angle BAC=\angle BCA=\alpha\), tad virsotnes leņķis \(\angle ABC=180^\circ-2\alpha\). Nogriezņu \(AK\) un \(MC\) krustpunktu apzīmēsim ar \(O\).

Trijstūris \(MAC\) ir vienādsānu (jo \(AM=AC\)) un, tā kā \(AO\) ir tā augstums pret pamatu, tad \(AO\) ir arī tā bisektrise. Tas nozīmē, ka \(\angle KAC=\alpha/2\).

No tā, ka trijstūris \(AKC\) ir vienādsānu (jo \(AK=AC\)), mēs varam secināt, ka \(\angle AKC=\angle ACK=\alpha\). Tātad trijstūra \(AKC\) leņķi ir \(\frac{\alpha}{2}, \alpha, \alpha\). Tā kā trijstūra iekšējo leņķu summa ir \(180^\circ\), tad iegūstam vienādojumu

\[ \frac{\alpha}{2}+\alpha+\alpha=180^\circ \]

no kurienes iegūstam, ka \(\alpha=72^\circ\). Tātad trijstūra \(ABC\) leņķi ir \(72^\circ,72^\circ,36^\circ\).