Atrisinājums

Mazākā iespējamā ciparu summa šādam sešciparu skaitlim ir \(18\), tāda tā ir, piemēram, skaitlim \(990000\).

Pierādīsim, ka mazāka ciparu summa par \(18\) nav iespējama. Ja skaitlis dalās ar \(99\), tad tas dalās ar \(9\) un ar \(11\). Tā kā tas dalās ar \(9\), tad arī tā ciparu summa dalās ar \(9\), tātad tā ciparu summa var būt tikai \(9,18,27,\ldots\). Tātad atliek pamatot, ka tā nevar būt \(9\).

Apzīmēsim skaitļa ciparus ar \(abcdef\) un pieņemsim pretējo, t.i., ka \(a+b+c+d+e+f=9\). Apzīmēsim nepāra pozīcijās esošo ciparu summu ar \(a+c+e=A\), bet pāra vietās esošo ciparu summu ar \(b+d+f=B\). Tā kā skaitļa ciparu summa ir \(9\), tad \(A+B=9\), tātad skaitļiem \(A\) un \(B\) ir dažādas paritātes. Tā kā šis skaitlis dalās ar \(11\), tad \(A-B\) dalās ar \(11\). Tā kā \(A\) un \(B\) ir dažādas paritātes, tad šī starpība nevar būt nulle. Tas nozīmē, ka vai nu \(A-B \geq 11\), vai arī \(A-B \leq -11\). Bet, ja \(A-B \geq 11\), tad \(A>11\), tas nozīmē, ka skaitļa ciparu summa ir vismaz \(11\) — pretruna. Līdzīgi otrā gadījumā, ja \(A-B \leq -11\), tad \(B \geq 11\) un iegūstam tādu pašu pretrunu.