Atrisinājums

Atbilde: ir \(3105\) šādi skaitļi.

Apzīmēsim ar \(a_n\) tādu \(n\)-ciparu skaitļu skaitu, kas sastāv tikai no cipariem \(1,2,3,4\) un kuros divi četrinieki neatrodas blakus. Viegli ievērot, ka \(a_1=4\) (vienciparu skaitļi \(1,2,3,4\)) un \(a_2=15\) (der visi divciparu skaitļi, izņemot \(44\)). Mūsu uzdevums ir atrast \(a_6\) vērtību. Izteiksim šīs virknes \(n\)-to locekli rekurenti.

Sadalīsim visus \(n\)-ciparu skaitļus, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem, divās grupās:

• skaitļi, kas sākas ar \(1,2\) vai \(3\). Šādu skaitļu kopā ir \(3a_{n-1}\), jo katram no šiem trim pirmajiem cipariem atlikušo \(n-1\) ciparu skaitļu ir tieši \(a_{n-1}\).
• skaitļi, kas sākas ar \(4\). Šādiem skaitļiem otrais cipars var būt tikai \(1,2\) vai \(3\) un atlikušo \(n-2\) ciparu skaitļu skaits katrā no šiem gadījumiem ir tieši \(a_{n-2}\). Tāpēc šādu skaitļu kopā ir \(3a_{n-2}\).

No šejienes varam iegūt rekurentu sakarību \(a_n=3a_{n-1}+3a_{n-2}\). Pēc tās aprēķinot virknes locekļus iegūstam

\[ a_1=4 \]

\[ a_2=15 \]

\[ a_3=3\cdot(a_1+a_2)=3\cdot(4+15)=57 \]

\[ a_4=3\cdot(a_2+a_3)=3\cdot(15+57)=216 \]

\[ a_5=3\cdot(a_3+a_4)=3\cdot(57+216)=819 \]

\[ a_6=3\cdot(a_4+a_5)=3\cdot(216+819)=3105 \]