Atrisinājums

Atbilde: \(520\) veidos.

Apzīmēsim ar \(a_n\) to, cik dažādos veidos skaitli \(n\) var izteikt kā vieninieku, divnieku un četrinieku summu.

Tādā gadījumā \(a_1=1\), \(a_2=2\) (jo \(2=1+1=2\)), \(a_3=3\) (jo \(3=1+1+1=1+2=2+1\)) un \(a_4=6\) (kā uzdevumā dotajā piemērā). Visiem pārējiem \(n\geq 5\) izteiksim \(a_n\) rekurenti no iepriekšējām vērtībām.

Visus dažādos veidus kā skaitli \(n\) var izteikt kā vieninieku divnieku un četrinieku summu var sadalīt \(3\) grupās:

• tie, kas sākas ar \(1\). Tādā gadījumā visi pārējie summas locekļi summā dod \(n-1\), tātad šādu veidu ir tieši \(a_{n-1}\).
• tie, kas sākas ar \(2\). Tādā gadījumā visi pārējie summas locekļi summā dod \(n-2\), tātad šādu veidu ir tieši \(a_{n-2}\).
• tie, kas sākas ar \(4\). Tādā gadījumā visi pārējie summas locekļi summā dod \(n-4\), tātad šādu veidu ir tieši \(a_{n-4}\).

No tā mēs varam secināt, ka visiem \(n\geq 5\) ir spēkā \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-4}\). Izmantojot šo, varam aprēķināt prasīto vērtību:

\[ a_5=a_4+a_3+a_1=6+3+1=10 \]

\[ a_6=a_5+a_4+a_2=10+6+2=18 \]

\[ a_7=a_6+a_5+a_3=18+10+3=31 \]

\[ a_8=a_7+a_6+a_4=31+18+6=55 \]

\[ a_9=a_8+a_7+a_5=55+31+10=96 \]

\[ a_{10}=a_9+a_8+a_6=96+55+18=169 \]

\[ a_{11}=a_{10}+a_9+a_7=169+96+31=296 \]

\[ a_{12}=a_{11}+a_{10}+a_8=296+169+55=520 \]