Dots trijstūris, kura malu garumi ir \(a, b\) un \(c\). Pierādīt, ka ir spēkā nevienādība
\[\frac{a^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}+2ac}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}+2ab}{a^{2}+b^{2}}>3.\]
Pierādīsim, ka katrs saskaitāmais nevienādība ir lielāks nekā \(1\). Tā kā \(a, b\) un \(c\) ir trijstūra malas garumi, tad pēc trijstūra nevienādības mums zināms, ka \(a+b>c\) jeb \(a>(c-b)\). Kāpinot abas puses kvadrātā, iegūstam, ka \(a^{2}>(c-b)^{2}\). Pārkārtojot izteiksmes saskaitāmos, iegūstam, ka
\[\begin{gathered} a^{2} > (c-b)^{2} \\ a^{2} > c^{2}-2 bc+b^{2} \\ a^{2}+2bc > b^{2}+c^{2} \\ \frac{a^{2}+2bc}{a^{2}+b^{2}} > 1 \end{gathered}\]
Līdzīgas nevienādības iegūstam, ja apskatām trijstūra nevienādības \(b+c>a\) un \(c+b>a\). Saskaitot šīs trīs nevienādības, iegūsim uzdevumā prasīto.