Atrisinājums

Savienosim \(B\) ar \(D\) un novilksim augstumu \(BE\) no \(B\) pret \(AD\) un augstumu \(CF\) no \(C\) pret \(BD\) (skat. 20. att.).

Tā kā vienādsānu trijstūrī \(BCD\) ir novilkts augstums pret pamatu, tad tā ir arī bisektrise un \(\sphericalangle BCF = \sphericalangle DCF = \frac{1}{2}\sphericalangle BCD = \alpha\). Ievērojam, ka trīs taisnleņķa trijstūri ir vienādi \(\triangle ABE = \triangle CBF = \triangle CDF\) pēc pazīmes \(h\ell\):

• \(AB = CB = CD\) pēc dotā;
• \(\sphericalangle BAE = \sphericalangle BCF = \sphericalangle DCF = \alpha\).

Tādā gadījumā \(BE = BF = FD\) kā vienādo trijstūru atbilstošie elementi jeb \(BE = \frac{1}{2}BD\), tātad taisnleņķa trijstūrī \(BED\) leņķis pret kateti, kas ir divas reizes īsāka nekā hipotenūza, ir \(30^{\circ}\) jeb \(\sphericalangle BDE = 30^{\circ}\) un \(\sphericalangle EBD = 60^{\circ}\). No vienādsānu trijstūra \(𝐵𝐶𝐷\) varam izteikt pamata pieleņķi \(\sphericalangle DBC = (180^{\circ} − \sphericalangle BCD) ∶ 2 = 90^{\circ} − \alpha\). No taisnleņķa trijstūra \(ABE\) varam izteikt \(\sphericalangle ABE = 180^{\circ} − \sphericalangle BAE − \sphericalangle AEB = 90^{\circ} − \alpha\). Tā kā \(\sphericalangle EBD + \sphericalangle DBC + \sphericalangle CBA + \sphericalangle ABE = 360^{\circ}\) (jo veidojas pilns leņķis), tad

\[60^{\circ} + 90^{\circ} − \alpha + 7\alpha + 90^{\circ} − \alpha = 360^{\circ}\;\;\Rightarrow\;\;\alpha=24^{\circ}.\]