Pierādīt, ka katram \(n>2\) var atrast tādus \(n\) atšķirīgus naturālus skaitļus \(a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{n} \leq 3 \cdot 2^{n-2}\), ka
\[\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}=1\]
Ja \(n=3\), tad der skaitļi \(2, 3\) un \(6\), jo \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1\).
Tālāk izmantosim vienādību \(\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\) jeb vispārīgā formā \(\frac{1}{3k}=\frac{1}{4k}+\frac{1}{12k}\).
Tad no vienādības \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1\), aizvietojot \(\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\), iegūstam derīgus skaitlus, ja \(n=4\):
\[\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=1\]
Ievērojam, ka gan iepriekš, gan tagad izteiksmē ir divi saskaitāmie, kuru saucējs dalās ar \(3\). No šīm abām daļām izvēlamies mazāko daļu \(\frac{1}{6}\), aizvietojam to ar \(\frac{1}{8}+\frac{1}{24}\) un iegūstam derīgus skaitļus, ja \(n=5\):\[\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}=1\]
Atkal ir divas daļas, kuru saucējs dalās ar \(3\). Šādi varam turpināt neierobežoti ilgi un lielākais saucējs vienmēr būs formā \(3 \cdot 2^{n-2}\).