Doti pieci naturāli skaitļi. Šo skaitļu reizinājums apzīmēts ar \(R\), bet to piekto pakāpju summa ar \(S\). Zināms, ka \(S\) dalās ar \(1001\). Vai ir iespējams, ka \(R\) un \(S\) ir savstarpēji pirmskaitļi?
Ievērojam, ka \(1001\) dalās ar \(11\), tātad doto skaitļu piekto pakāpju summa \(S\) dalās ar \(11\). Pierādīsim, ka no tā izriet, ka arī \(R\) jādalās ar \(11\), līdz ar to būs pamatots, ka \(R\) un \(S\) nav savstarpēji pirmskaitļi.
Vispirms noskaidrosim, ar ko var būt kongruentas veselu skaitļu piektās pakāpes pēc moduļa \(11\).
| \(n \pmod {11}\) | \(n^5 \pmod {11}\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(-1\) |
| \(3\) | \(1\) |
| \(4\) | \(1\) |
| \(5\) | \(1\) |
| \(6\) | \(-1\) |
| \(7\) | \(-1\) |
| \(8\) | \(-1\) |
| \(9\) | \(1\) |
| \(10\) | \(-1\) |
Pieņemsim, ka doto piecu skaitļu reizinājums \(R\) nedalās ar \(11\); tad arī neviens no šiem skaitļiem nedalās ar \(11\), līdz ar to katra skaitļa piektā pakāpe ir kongruenta ar \(1\) vai \(-1\) pēc moduļa \(11\). Secinām, ka visu doto skaitļu piekto pakāpju summa \(S\) pēc moduļa \(11\) ir pierakstāma formā \(\pm 1 \pm 1 \pm 1 \pm 1 \pm 1\).
Ievērosim, ka tas ir nepāra skaitlis, kas pēc absolūtās vērtības nepārsniedz \(5\), tātad nevar būt kongruents ar \(0\) pēc moduļa \(11\). Taču tā ir pretruna ar to, ka \(S\) dalās ar \(11\). Līdz ar to pieņēmums bijis aplams un \(R\) dalās ar \(11\). Secinām, ka skaitliem \(R\) un \(S\) ir kopīgs pirmreizinātājs \(11\), tātad tie nav savstarpēji pirmskaitļi.