LV.AMO.2018.11.3 lv
Riņķa līnija \(\omega_{1}\) iekšēji pieskaras riņķa līnijai \(\omega_{2}\) punktā \(A\). No punkta \(P\), kas atrodas uz \(\omega_{2}\), novilktas hordas \(PQ\) un \(PR\), kas pieskaras \(\omega_{1}\) attiecīgi punktos \(X\) un \(Y\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle QAR=2 \sphericalangle XAY\).
Atrisinājums
Ar \(O\) apzīmējam riņķa līnijas \(\omega_{1}\) centru (skat. 33.att.). Apzīmējam \(\sphericalangle XOY=2 \alpha\).
Tā kā \(\sphericalangle OYP=\sphericalangle OXP=90^{\circ}\), tad \(\sphericalangle XPY=360^{\circ}-180^{\circ}-\sphericalangle XOY=180^{\circ}-2 \alpha\). Ievērojam, ka \(\sphericalangle XAY=\frac{1}{2} \sphericalangle XOY=\frac{1}{2} \cdot 2 \alpha=\alpha\) kā ievilktais un centra leņķis, kas balstās uz viena un tā paša loka \(XY\).
Tā kā četrstūris \(AQPR\) ir ievilkts četrstūris, tad \(\sphericalangle QAR=180^{\circ}-\sphericalangle QPR=180^{\circ}-\left(180^{\circ}-2 \alpha\right)=2 \alpha\).
Līdz ar to esam pierādījuši, ka \(\sphericalangle QAR=2 \sphericalangle XAY\).
