Pierādīt, ja \(x\) - naturāls skaitlis, tad \(x^{8}-x^{2}\) dalās ar \(252\).
Ievērojam, ka \(252=4 \cdot 7 \cdot 9\) un visi reizinātāji ir savstarpēji pirmskaitļi. Tātad pietiek pierādīt, ka \(x^{8}-x^{2}\) dalās ar \(4,\ 7\) un \(9\). Sadalām izteiksmi \(x^{8}-x^{2}\) reizinātājos:
\(x^{8}-x^{2}=x^{2}\left(x^{3}-1\right)\left(x^{3}+1\right)=x^{2}(x-1)(x+1)(x(x+1)+1)(x(x-1)+1)=\)
\(=x^{2}(x-1)(x+1)\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)\)
Apskatām reizinātājus pēc moduļa \(3\).
| \(x \bmod 3\) | \((x-1) \bmod 3\) | \((x+1) \bmod 3\) | \(x^{2} \bmod 3\) | \(\left(x^{2}+x+1\right) \bmod 3\) | \(\left(x^{2}-x+1\right) \bmod 3\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(0\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) |
| \(2\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) |
Katrā rindā divi no reizinātājiem dalās ar \(3\), tātad reizinājums dalās ar \(9\).
Ievērojot, ka \(x^{8}-x^{2}=x^{2}\left(x^{3}-1\right)\left(x^{3}+1\right)\), apskatām reizinātājus pēc moduļa \(7\).
| \(x \bmod 7\) | \(x^{2} \bmod 7\) | \(x^{3} \bmod 7\) | \(\left(x^{3}-1\right) \bmod 7\) | \(\left(x^{3}+1\right) \bmod 7\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(6\) | \(1\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(2\) |
| \(2\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(2\) |
| \(3\) | \(2\) | \(6\) | \(5\) | \(0\) |
| \(4\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) | \(2\) |
| \(5\) | \(4\) | \(6\) | \(5\) | \(0\) |
| \(6\) | \(1\) | \(6\) | \(5\) | \(0\) |
Katrā rindā viens reizinātājs dalās ar \(7\), tātad arī reizinājums dalās ar \(7\).
Ja \(x\) ir pāra skaitlis, tad \(x^{2}\) dalās ar \(4\). Ja \(x\) ir nepāra skaitlis, tad \(x-1\) un \(x+1\) ir pāra skaitļi un tad ar \(4\) dalās to reizinājums.
Līdz ar to esam pierādījuši, ka \(x^{8}-x^{2}\) dalās ar \(252\).
Piezīme: Pamatojot polinoma vērtības dalāmību ar \(8\), \(7\) un \(9\), pietika aplūkot pa vienam atlikumam no katras kongruenču klases. Tas seko no šāda apgalvojuma:
Apgalvojums: Ja \(P(x)\) ir polinoms ar veseliem koeficientiem, ja \(x_1, x_2, m\) ir naturāli skaitļi, pie tam \(x_1\) un \(x_2\) dod vienādus atlikumus, dalot ar \(m\) , tad arī polinomu vērtības \(P(x_1)\) un \(P(x_2)\) dod vienādus atlikumus, dalot ar \(m\):
\[x_1 \equiv x_2 \pmod m\;\;\Rightarrow\;\;P(x_1) \equiv P(x_2) \pmod m\]