Atrisinājums

Taišņu \(CM\) un \(CN\) krustpunktus ar taisni \(AB\) apzīmējam attiecīgi ar \(M_{1}\) un \(N_{1}\) (skat. 27.att.). Nogrieznis \(AM\) vienlaicīgi ir trijstūra \(M_{1}AC\) augstums un bisektrise, tāpēc trijstūris \(M_{1}AC\) ir vienādsānu \((M_{1}A=AC)\) un \(AM\) ir arī mediāna, tas ir, \(MM_{1}=MC\).

Līdzīgi spriežot par nogriezni \(BN\), iegūstam, ka \(BC=BN_{1}\) un \(NN_{1}=CN\).

Tātad \(MN\) ir trijstūra \(M_{1}CN_{1}\) viduslīnija un tās garums ir

\[MN=\frac{1}{2} M_{1}N_{1}=\frac{1}{2}\left(M_{1}A+AB+BN_{1}\right)=\frac{1}{2}(AC+AB+BC)=\frac{1}{2} P(ABC)\]