LV.AMO.2017.12.3 lv
Šaurleņķu trijstūrī \(ABC\) taisne, kas vilkta paralēli malai \(BC\) krusto malu \(AB\) punktā \(F\), bet malu \(AC\) - punktā \(E\). Pierādīt, ka riņķa līniju, kas konstruētas uz nogriežņiem \(BE\) un \(CF\) kā diametriem, krustpunkti atrodas uz trijstūra augstuma (vai tā pagarinājuma), kas no \(A\) vilkts pret malu \(BC\).
Atrisinājums
Riņķa līniju ar diametru \(BE\) apzīmēsim ar \(\omega_{1}\), tās centru apzīmēsim ar \(O\), riņķa līniju ar diametru \(CF\) apzīmēsim ar \(\omega_{2}\) un tās centru - ar \(P, \omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) krustpunktus apzīmēsim ar \(M\) un \(N\) (skat. 36.att.).
Ja no virsotnes \(B\) novelk augstumu \(BG\) pret malu \(AC(G \in AC)\), tad punkts \(G\) atrodas arī uz riņķa līnijas \(\omega_{1}\), jo \(\sphericalangle BGE=90^{\circ}\). Līdzīgi augstuma \(CH\) pamats \(H\) atrodas uz riņķa līnijas \(\omega_{2}\) (skat. 37.att.).
Vispirms pierādīsim, ka \(AG \cdot AE=AH \cdot AF\). Lai to pierādītu, ievērosim, ka \(\triangle ABC \sim \triangle AFE\) pēc pazīmes \(\ell \ell\), jo \(\sphericalangle A\) ir kopīgs un \(\sphericalangle ABC=\sphericalangle AFE\) kā kāpšļu leņķi, tāpēc \(\frac{AF}{AE}=\frac{AB}{AC}\).
No taisnleņķa trijstūriem \(AGB\) un \(AHC\) iegūstam, ka \(AG=AB \cdot \cos A\) un \(AH=AC \cdot \cos A\). Tāpēc \(\frac{AG}{AH}=\frac{AB}{AC}=\frac{AF}{AE}\), no kurienes seko prasītais.
Tālāk pierādīsim, ka punkti \(A,\ M\) un \(N\) atrodas uz vienas taisnes. Pieņemsim pretējo, ka šie punkti neatrodas uz vienas taisnes, tad novilksim taisni \(AM\) un tās otrus krustpunktus ar \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) apzīmēsim attiecīgi ar \(N_{1}\) un \(\mathrm{N}_{2}\).
No sekanšu īpašības izriet, ka \(AG \cdot AE=AM \cdot AN_{1}\) (sekantes no punkta \(A\) pret \(\omega_{1}\)) un \(AH \cdot AF=AM \cdot AN_{2}\) (sekantes no punkta \(A\) pret \(\omega_{2}\)). Tā kā \(AG \cdot AE=AH \cdot AF\), tad arī \(AM \cdot AN_{1}=AM \cdot AN_{2}\), tātad \(AN_{1}=AN_{2}\), tas nozīmē, ka punkti \(N_{1}\) un \(N_{2}\) sakrīt.
Atliek pierādīt, ka taisne \(MN\) ir perpendikulāra \(BC\). Riņķa līnijas \(\omega_{1}\) centrs \(O\) atrodas vienādā attālumā no \(M\) un \(N\), tāpēc tas atrodas uz \(MN\) vidusperpendikula. Līdzīgi iegūst, ka arī \(P\) atrodas uz \(MN\) vidusperpendikula. Tātad \(MN \perp OP\). Bet nogrieznis \(OP\) atrodas uz trapeces \(BFEC\) viduslīnijas, tāpēc tas ir paralēls \(BC\). Tātad \(MN \perp BC\) un esam pierādījuši, ka \(M\) un \(N\) atrodas uz taisnes, kas satur no virsotnes \(A\) vilkto augstumu.