Atrisinājums

Vispirms pierādīsim šādu lemmu: trijstūra leņķa bisektrises un pretējās malas vidusperpendikula krustpunkts atrodas uz trijstūrim apvilktās riņķa līnijas.

Lemmas pierādījums. Aplūkojam patvaļīgu trijstūri \(XYZ\), tā leņķa \(Y\) bisektrise, krusto loku \(ZX\) tā viduspunktā, jo vienādi leņķi savelk vienādus lokus (skat. 34.att.). Bet tas nozīmē, ka \(T\) atrodas vienādos attālumos no \(Z\) un \(X\), tātad tas atrodas uz nogriežņa \(XZ\) vidusperpendikula. Lemma pierādīta.

Novelkam nogriežņus \(PB\) un \(BQ\). Apzīmējam \(\sphericalangle ADP=\sphericalangle PDB=\alpha\) un \(\sphericalangle BDQ=\sphericalangle QDC=\beta\), tad \(\alpha+\beta=90^{\circ}\). No lemmas izriet, ka ap četrstūriem \(ADBP\) un \(BDCQ\) var apvilkt riņķa līnijas (skat. 35.att.). Tad \(\sphericalangle PBA=\sphericalangle PDA=\alpha\) un \(\sphericalangle CBQ=\sphericalangle CDQ=\beta\) kā ievilktie leņķi, kas balstās attiecīgi uz lokiem \(PA\) un \(CQ\). Tāpēc \(\sphericalangle PBQ=\sphericalangle PBA+\sphericalangle ABC+\sphericalangle CBQ=\alpha+90^{\circ}+\beta=180^{\circ}\). Līdz ar to punkti \(P,\ B\) un \(Q\) atrodas uz vienas taisnes.