LV.AMO.2016.10.4 lv
Trijstūrī \(ABC\) leņķa \(\sphericalangle ABC\) bisektrise krusto malu \(AC\) punktā \(D\). Caur punktu \(C\) paralēli \(BD\) novilkta taisne, kas krusto \(AB\) pagarinājumu punktā \(P\) un ap trijstūri \(BDC\) apvilkto riņķa līniju punktā \(Q\). Taisne \(PD\) krusto nogriezni \(BQ\) punktā \(M\). Pierādīt, ka \(PM=MD\).
Atrisinājums
Nogrieznis \(BD\) ir bisektrise, tāpēc \(\sphericalangle ABD=\sphericalangle DBC\) (skat. 17.att.). Tā kā \(BD || CQ\), tad \(\sphericalangle BCQ=\sphericalangle DBC\) kā iekšējie šķērsleņķi. Savukārt \(\sphericalangle BDQ=\sphericalangle BCQ\) kā ievilktie leņķi, kas balstās uz viena un tā paša loka \(BQ\). Līdz ar to iekšējie šķērsleņķi \(\sphericalangle ABD=\sphericalangle BDQ\) un tāpēc \(AB || DQ\). Četrstūris \(BDQP\) ir paralelograms, jo \(BD || QP\) un \(BP || DQ\). Paralelogramā diagonāles krustpunktā dalās uz pusēm, tāpēc \(PM=MD\).
