Funkcija \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definēta visiem reāliem skaitļiem un pieņem reālas vērtības. Visiem reāliem skaitļiem \(a\) un \(b\) izpildās
\[2f(a) \leq f(b)+f(2a-b)\]
Vai tiesa, ka visiem reāliem \(a, b\) un \(c\) izpildās\[3f(a) \leq f(b)+f(c)+f(3a-b-c)?\]
Dotajā nevienādībā ņemam \(a=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}\) un \(b=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\). Tad
\[\begin{aligned} & 2 f\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}\right) \leq f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)+f\left(\frac{x_{3}+x_{4}}{2}\right) \Rightarrow \\ & 4 f\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}\right) \leq f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+f\left(x_{3}\right)+f\left(x_{4}\right) \end{aligned}\]
Tagad pēdējā nevienādībā \(x_{4}\) vietā ievietojot pirmo trīs skaitļu aritmētisko vidējo, t. i., \(x_{4}=A_{3}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}\), iegūstam vajadzīgo nevienādību:\[\begin{aligned} & 4 f\left(\frac{3A_{3}+A_{3}}{4}\right)=4 f\left(A_{3}\right) \leq f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+f\left(x_{3}\right)+f\left(A_{3}\right) \Rightarrow \\ & 3 f\left(A_{3}\right) \leq f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+f\left(x_{3}\right) . \end{aligned}\]