LV.AMO.2011.11.2 lv
Ap kvadrātu \(ABCD\) ir apvilkta riņķa līnija, uz kuras mazākā loka \(AB\) ir izvēlēts patvaļīgs punkts \(P\). \(PC\) krusto \(AB\) un \(BD\) attiecīgi punktos \(M\) un \(X\); \(PD\) krusto \(AB\) un \(AC\) attiecīgi punktos \(N\) un \(Y\). \(MY\) un \(NX\) krustojas punktā \(Q;\ AC\) un \(BD\) krustojas punktā \(O\).
Pierādīt, ka \(QXOY\) ir taisnstūris.
Atrisinājums
\(\sphericalangle CPD=\sphericalangle CAD\), jo tie balstās uz viena loka (skat. 18.zīm.). Savukārt \(\sphericalangle CAD=\sphericalangle BAC=45^{\circ}\), tāpēc \(\sphericalangle CPD=\sphericalangle BAC\) vai arī \(\sphericalangle MPY=\sphericalangle MAY\). Tāpēc ap \(A, P, M\) un \(Y\) var apvilkt riņķa līniju (1). \(90^{\circ}=\sphericalangle APC=\sphericalangle ABC\), jo šie leņķi arī balstās uz viena loka. No (1) seko, ka \(\sphericalangle AYM=180^{\circ}-\sphericalangle APM=180^{\circ}-\sphericalangle APC=90^{\circ}\). Tā kā \(\sphericalangle AOB=90^{\circ}\), tad \(MY \parallel BO\). Līdzīgi pierāda, ka \(NX \parallel AO\). Tad \(QXOY\) ir paralelograms ar vienu leņķi \(90^{\circ}\), t.i., taisnstūris, k.b.j.
