Četri atšķirīgi punkti \(A,\ B,\ C\) un \(D\) atrodas uz parabolas \(y=x^{2}\). Nogriežņi \(AB\) un \(CD\) krustojas punktā \(E\). Pierādi, ka \(E\) nevar būt vienlaicīgi gan \(AB\), gan \(CD\) viduspunkts!
Pieņemsim, ka \(E\) ir gan \(AB\), gan \(CD\) viduspunkts, tad četrstūris \(ACBD\) ir paralelograms. Paralelograma pretējās malas pa pāriem ir paralēlas, tātad jābūt \(AC \parallel BD\) un \(AD \parallel BC\).
Apzīmēsim doto punktu koordinātas: \(A \left(x_{A};\ x_{A}^{2}\right),\ B\left(x_{B};\ x_{B}^{2}\right),\ C\left(x_{C};\ x_{C}^{2}\right)\) un \(D \left(x_{D};\ x_{D}^{2}\right)\).
Ja taisnes, kas iet caur punktiem \(A\) un \(C\), vienādojums ir \(y=k_{1}x+b_{1}\), tad
\[\left\{\begin{array}{l} x_{A}^{2}=k_{1} \cdot x_{A}+b_{1} \\ x_{C}^{2}=k_{1} \cdot x_{C}+b_{1} \end{array}\right.\]
Atņemot, vienu vienādojumu no otra, iegūstam\[\left(x_{A}-x_{C}\right)\left(x_{A}+x_{C}\right)=k_{1}\left(x_{A}-x_{C}\right)\]
Tā kā punkti \(A\) un \(C\) ir dažādi, tad \(x_{A} \neq x_{C}\), tāpēc \(k_{1}=x_{A}+x_{C}\). Līdzīgi iegūstam, ka taisnes, kas iet caur punktiem \(B\) un \(D\), virziena koeficients \(k_{2}=x_{B}+x_{D}\). Tā kā paralēlām taisnēm virziena koeficienti ir vienādi, tad\[\begin{equation*} x_{A}+x_{C}=x_{B}+x_{D} \tag{1} \end{equation*}\]
No tā, ka arī taisnes \(AD\) un \(BC\) ir paralēlas, līdzīgi iegūstam\[\begin{equation*} x_{A}+x_{D}=x_{B}+x_{C} \tag{2} \end{equation*}\]
Atņemot vienādību (2) no (1), iegūstam \(x_{C}-x_{D}=x_{D}-x_{C}\) jeb \(x_{C}=x_{D}\), kas ir pretrunā ar doto. Tātad mūsu pieņēmums ir aplams, un nevar gadīties, ka \(E\) ir gan \(AB\), gan \(CD\) viduspunkts.