LV.AMO.2009.11.4 lv
Dots, ka sešstūris \(ABCDEF\) ir izliekts un tā pretējās malas ir pa pāriem vienādas. Nekādas divas tā malas un diagonāles nav paralēlas viena otrai. Ar \(A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}, E_{1}, F_{1}\) apzīmējam attiecīgi diagonāļu \(AC, BD, CE, DF, EA, FB\) viduspunktus. Pierādīt, ka taisnes \(A_{1}D_{1},\ B_{1}E_{1}\) un \(C_{1}F_{1}\) krustojas vienā punktā.
Atrisinājums
No trijstūru viduslīniju īpašībām viegli seko vispārzināms fakts: izliektā četrstūrī \(XYZT\), kam nav paralēlu malu, nogriežņu \(XZ,\ YZ,\ YT\) un \(XT\) viduspunkti ir paralelograma virsotnes. Turklāt, ja \(XY=ZT\), tad šis paralelograms ir rombs.
Apzīmēsim ar \(P,\ Q,\ R\) diagonāļu \(AD,\ BE,\ CF\) viduspunktus. Tad \(PB_{1}QE_{1}\) ir rombs. Tāpēc \(B_{1}E_{1}\) iet caur \(PQ\) viduspunktu un \(B_{1}E_{1} \perp PQ\). Līdzīgi iegūstam, ka \(A_{1}D_{1}\) iet caur \(PR\) viduspunktu un \(A_{1}D_{1} \perp PR\), kā arī \(C_{1}F_{1}\) iet caur \(QR\) viduspunktu un \(C_{1}F_{1} \perp QR\). Tāpēc taisnes \(A_{1}D_{1},\ B_{1}E_{1}\) un \(C_{1}F_{1}\) krustojas \(\triangle PQR\) apvilktās riņķa līnijas centrā.