Spēlē OP! piedalās \(n\) spēlētāji (\(n \geq 2\)). Spēle notiek vairākas dienas. Katru dienu viens spēlētājs uzvar, bet pārējie zaudē. Sakaņā ar noteikumiem \(i\)-tajā dienā (\(i=1,2, \ldots\)) uzvarētājs saņem \(i(n-1)\) punktus, bet katrs zaudētājs zaudē pa \(i\) punktiem. Spēles sākumā visiem ir pa \(0\) punktiem. Pēc kāda mazākā dienu skaita var gadīties, ka visiem atkal ir pa \(0\) punktiem?
Atbilde: pēc \(2n-1\) dienām.
Risinājums. Ja dienu skaits nepārsniedz \(2n-2\), tad vai nu kāds spēlētājs nav ne reizi uzvarējis (un tad viņa punktu summa ir negatīva), vai arī ir vismaz divi spēlētāji, kas katrs uzvarējis tikai vienreiz; tad tas noticis dažādās dienās, un viņu punktu summas nevar būt vienādas. Tāpēc ar \(2n-2\) vai mazāk dienām nepietiek.
Viegli pārbaudīt: ja
viens spēlētājs uzvar \(1.\) un \((2n-2)\)-ā dienā;
viens spēlētājs uzvar \(2.\) un (\(2n-3)\)-ā dienā;
.
.
.
viens spēlētājs uzvar \(n\)-ā un \((n-1)\)-ā dienā;
viens spēlētājs uzvar \((2n-1)\)-ā dienā,
uzdevuma prasības ir izpildītas.