LV.AMO.2009.10.3 lv
Dots, ka \(ABC\) ir šaurleņķu trijstūris un \(I\) ir tajā ievilktās riņķa līnijas centrs. Riņķa līnija \(\omega_{1}\) iet caur \(B\) un \(I\) un pieskaras \(\sphericalangle ACB\) bisektrisei. Riņķa līnija \(\omega_{2}\) iet caur \(C\) un \(I\) un pieskaras \(\sphericalangle ABC\) bisektrisei. Pierādīt, ka viens no \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) krustpunktiem atrodas uz \(\triangle ABC\) apvilktās riņķa līnijas.
Atrisinājums
Apzīmējam \(\sphericalangle ABC=2 \beta\) un \(\sphericalangle ACB=2 \gamma\); tad \(\sphericalangle A=180^{\circ}-(2 \beta+2 \gamma)\) un \(\sphericalangle CIB=180^{\circ}-(\gamma+\beta)\). No ievilkto leņķu un hordas - pieskares leņķu īpašībām seko 14.zīmējumā parādītās leņķu vienādības, tāpēc \(\sphericalangle CSB=\sphericalangle 1+\sphericalangle 2=360^{\circ}-2 \sphericalangle CIB=2(\beta+\gamma)\).
Tāpēc \(\sphericalangle A+\sphericalangle CSB=180^{\circ}\), no kā seko vajadzīgais.