LV.AMO.2008.12.5 lv
Plakne sadalīta vienādos kvadrātiņos ar izmēriem \(1 \times 1\) kā rūtiņu lapa. Simts rūtiņās, kas veido kvadrātu \(10 \times 10\), bija novietots pa vienai figūriņai. Šīs figūriņas savāca un novietoja citā vietā (ne vairāk kā vienu figūriņu vienā rūtiņā) tā, ka katras divas figūriņas, kas sākumā atradās rūtiņās ar kopīgu malu, pēc pārvietošanas atkal atradās rūtiņās ar kopīgu malu. Pierādīt, ka pēc pārvietošanas figūriņas atkal aizpilda \(10 \times 10\) rūtiņu kvadrātu.
Atrisinājums
Saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem aizpildīto rūtiņu veidotās figūras robežas garums nepieaug. Ja mēs pratīsim pierādīt, ka \(10 \times 10\) rūtiņu kvadrāts ir figūra ar vismazāko perimetru starp \(100\) rūtiņu figūrām, turklāt vienīgā tāda figūra, tad uzdevums būs atrisināts. Aplūkosim kaut kādu \(100\) rūtiņu figūru. Vispirms aizstāsim to ar mazāko iekļaujošo rūtiņu taisnstūri. No tā figūras rūtiņu skaits var tikai augt, bet perimetrs \(P\) - tikai samazināties (abi var arī palikt nemainīgi).
Pieņemsim, ka šim taisnstūrim ir izmēri \(x \times y\); tad \(x \cdot y \geq 100\). Tā perimetrs \(2x+2y=4 \cdot \frac{x+y}{2} \geq 4 \cdot \sqrt{xy} \geq 40\). Tāpēc arī sākotnējās figūras perimetrs \(P \geq 40\). Turklāt tas var būt \(P\) tikai tad, ja \(x \cdot y=100\) (t. i., taisnstūris sakrīt ar sākotnējo figūru) un \(x=y\) (t. i., taisnstūris ir kvadrāts). Tātad mūsu "izoperimetrisko nevienādību" esam pierādījuši.