Kvadrāts sastāv no \(20 \times 20\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Katra rūtiņa nokrāsota balta, melna, sarkana vai zaļa tā, ka nekādām divām vienādi nokrāsotām rūtiņām nav kopīgu robežas punktu.
(A) cik ir sarkanu rūtiņu?
(B) pierādiet: stūra rūtiņas nokrāsotas dažādās krāsās.
(A) sadalām kvadrātu \(100\) daļās ar izmēriem \(2 \times 2\) rūtiņas. Katrā daļā sastopamas visas četras krāsas. Tāpēc sarkano rūtiņu ir \(100\). (Nepieciešams parādīt piemēru; tas ir triviāli.)
(B) baltās, melnās, sarkanās un zaļās rūtiņās ierakstām attiecīgi \(1;\ 10;\ 100;\ 1000\). Katrā 2x2 rūtiņu kvadrātā skaitļu summa ir \(1111\). Ar \(\Sigma_{1}\) apzīmējam visu kvadrāta skaitļu summu, ar \(\Sigma_{2}\) - visu iekšējā \(18 \times 18\) rūtiņu kvadrāta skaitļu summu. Tad \(\Sigma_{1}+\Sigma_{2}=(100+81) \cdot 1111\). No otras puses, \(\Sigma_{1}+\Sigma_{2}\) iegūstama, četru stūra rūtiņu skaitļu summai pieskaitot divos taisnstūros \(18 \times 20\) ierakstīto skaitļu summas. Tāpēc stūra rūtiņās ierakstīto skaitļu summa ir \((100+81) \cdot 1111-2 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 1111=1111\). Summa \(1111\) no mūsu saskaitāmajiem iegūstama tikai kā \(1+10+100+1000\), no kā arī seko vajadzīgais.