LV.AMO.2007.9.2 lv
Dots, ka \(\triangle ABC\) ir regulārs. Punkts \(P\) atrodas uz \(ABC\) apvilktās riņķa līnijas (skat. 1.zīm.) Taisnes, kas caur \(P\) vilktas paralēli \(AB,\ BC\) un \(CA\), krusto atbilstoši taisnes \(BC,\ AC\) un \(AB\) attiecīgi punktos \(M,\ K\) un \(N\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle BMN=\sphericalangle BMK\)
Atrisinājums
No konstrukcijas seko, ka \(PMBN\) ir trapece, pie tam vienādsānu (leņķi pie pamata \(PM\) abi ir \(60^{\circ}\) ). Tāpēc \(\sphericalangle \mathbf{BMN}=\sphericalangle \mathbf{BPN}\).
Līdzīgi \(PMCK\) ir vienādsānu trapece, tāpēc \(\sphericalangle BMK=\sphericalangle BCP\), un mums pietiek pierādīt, ka \(\sphericalangle BPN=\sphericalangle BCP\). Tā kā tie abi ir ievilkti leņķi, tad pietiek pierādīt, ka \(B\) ir loka \(PBL\) viduspunkts. Bet tas seko no vienādībām \(\cup APB=\cup CLB=120^{\circ}\) un \(\cup AmP=\cup CnL\) (loki starp paralēlām hordām), atņemot tās vienu no otras.
Piezīme. No pierādītā seko, ka \(M,\ N,\ K\) atrodas uz vienas taisnes.