LV.AMO.2007.11.5 lv
Kvadrāts sastāv no \(n \times n\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Divas rūtiņas sauc par blakus rūtiņām, ja tām ir kopīga mala. Sākumā visas rūtiņas ir baltas. Ar vienu gājienu atļauts nokrāsot melnā krāsā
(A) vienu baltu rūtiņu, ja visas tās blakus rūtiņas ir baltas,
(B) no divām baltām rūtiņām sastāvošu taisnstūri, ja tieši divas no tam blakus esošām rūtiņām jau ir melnas,
(C) no četrām baltām rūtiņām sastāvošu kvadrātu, ja visas \(8\) tam blakus esošās rūtiņas jau ir melnas.
Vai var nokrāsot melnu visu kvadrātu, ja
(A) \(n=8\)
(B) \(n=13\)?
Atrisinājums
Atbilde: (A) nevar, (B) var.
Risinājums. Pie \(n=13\) vispirms nokrāsojam ar krustiņiem atzīmētās rūtiņas (skat. 21.zīm.)
Pēc tam nokrāsojam \(1 \times 2\) rūtiņas lielos taisnstūrus, kas tās "savieno"; pēc tam nokrāsojam baltos \(2 \times 2\) rūtiņu kvadrātus.
Pie \(n=8\) apskatīsim to kvadrātā iekšā esošo rūtiņu malu skaitu, kam abās pusēs ir melnas rūtiņas. Sākumā tas ir \(0\); beigās tam jābūt \(2 \cdot 7 \cdot 8\), t.i., nav jādalās ar \(3\). Bet viegli pārliecināties, ka ar katru gājienu šis skaits mainās par \(0\), par \(3\) vai par \(12\), tātad vienmēr dalās ar \(3\). Tātad prasītā nokrāsošana nav iespējama.