LV.AMO.2007.10.5 lv
Plaknē doti \(n\) punkti, \(n \geq 3\). Nekādi \(3\) no tiem neatrodas uz vienas taisnes. Apskatām visas iespējamās taisnes, kas katra iet caur diviem no šiem punktiem. Pierādiet, ka
(A) starp tām noteikti var atrast \(n-1\) taisnes, no kurām nekādas divas nav paralēlas savā starpā,
(B) starp tām noteikti var atrast \(n\) taisnes, no kurām nekādas divas nav paralēlas savā starpā,
(C) iespējams, ka starp tām nevar atrast \(n+1\) taisnes, no kurām nekādas divas nav paralēlas savā starpā.
Atrisinājums
(A) apskatām dotās punktu sistēmas izliekto apvalku. Ņemam vienu tā virsotni. Tās \(n-1\) taisnes, kas iet caur šo virsotni un citiem \(n-1\) punktiem, savā starpā nav paralēlas (skat 17.zīm.)
(B) ja iepriekšējā risinājumā "malējās" taisnes ir \(AB\) un \(AC\), tad taisne \(BC\) nav paralēla nevienai no pārējām \(n-1\) taisnei; tāpēc to var ņemt par \(n\)-to taisni
(C) ja dotie \(n\) punkti ir regulāra \(n\)-stūra virsotnēs, tad taisnēm, kas vilktas caur diviem no tiem, ir pavisam \(n\) dažādi virzieni. Tāpēc no tām nevar izvēlēties vairāk par \(n\) pa pāriem neparalēlām taisnēm.