Dots, ka \(x, y, z\) un \(t\) ir pozitīvi skaitļi.
(A) Pieņemsim, ka zināms: \(x+y+z+t \leq 4\). Vai noteikti \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \geq 4\)?
(B) Pieņemsim, ka zināms: \(x+y+z+t \geq 4\). Vai noteikti \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \leq 4\)?
Atbilde: (A) jā, (B) nē.
Risinājums. (A) ievērosim, ka
\((x+y+z+t)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)=\)
\(=4+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{t}+\frac{t}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{y}{t}+\frac{t}{y}\right)+\left(\frac{z}{t}+\frac{t}{z}\right)\).
Tā kā pozitīviem \(\alpha\) ir spēkā \(\alpha+\frac{1}{\alpha} \geq 2 \sqrt{\alpha \cdot \frac{1}{\alpha}}=2\), tad apskatāmā reizinājuma vērtība ir vismaz \(4+6 \cdot 2=16\). No tā seko uzdevuma apgalvojums.
(B) apskatām piemēru \(x=y=z=0,1;\ t=1000\).