Apzīmēsim \(f(x)=x^{2}+px+q\). Ir dots, ka vienādojumam \(f(x)=0\) ir divas saknes, kas atšķiras viena no otras vismaz par \(5\). Pierādīt, ka vienādojumam \(f(x)+f(x+1)+f(x+2)=0\) arī ir divas saknes.
Apzīmējam vienādojuma \(f(x)=0\) saknes \(x_{1}\) un \(x_{2},\ x_{1}<x_{2}\). Tad pie \(x_{1}<x<x_{2}\) pastāv nevienādība \(f(x)<0\), bet pie \(x>x_{2}\) un pie \(x<x_{1}\) pastāv nevienādība \(f(x)>0\). Tāpēc pie \(x_{3}=x_{1}+0,1\) pastāv nevienādības \(f\left(x_{3}\right)<0\), \(f\left(x_{3}+1\right)<0\) un \(f\left(x_{3}+2\right)<0\); pie \(x_{4}=x_{1}-10\) pastāv nevienādības \(f\left(x_{4}\right)>0,\ f\left(x_{4}+1\right)>0\) un \(f\left(x_{4}+2\right)>0\); pie \(x_{5}>x_{2}\) pastāv nevienādības \(f\left(x_{5}\right)>0,\ f\left(x_{5}+1\right)>0\) un \(f\left(x_{5}+2\right)>0\). Tātad funkcija \(F(x)=f(x)+f(x+1)+f(x+2)\) maina zīmi starp \(x_{5}\) un \(x_{3}\), kā arī starp \(x_{3}\) un \(x_{4}\), no kurienes seko vajadzīgais.