LV.AMO.2006.12.5 lv
Vai eksistē tāda funkcija \(f\), kuras definīcijas apgabals sastāv no visiem plaknes daudzstūriem, visas vērtības ir lielākas par \(0\) un mazākas par \(1\) un kam piemīt īpašība: ja daudzstūris \(D\) sadalīts divos daudzstūros \(D_{1}\) un \(D_{2}\), tad noteikti \(f(D)=f\left(D_{1}\right)+f\left(D_{2}\right)\)?
Piezīme. Ja daudzstūri \(x_{1}\) un \(x_{2}\) ir vienādi, bet atšķiras viens no otra ar novietojumu plaknē, tad varbūt \(f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right)\).
Atrisinājums
Sadalīsim plakni vienības kvadrātos un sanumurēsim tos "pa spirāli" ar naturāliem skaitļiem, kā parādīts 13.zīm.
Katram daudzstūrim \(D\) eksistē tāds \(k\), ka \(D\) neiziet ārpus pirmo \(k\) vienības kvadrātu veidotās figūras. Pieņemsim, ka \(D\) aizņemtais laukums \(i\)-tā vienības kvadrāta iekšpusē ir \(S_{i}(i=1;\ 2;\ \ldots;\ k)\). Tad definējam
\[f(D)=\frac{S_{1}}{2}+\frac{S_{2}}{4}+\frac{S_{3}}{8}+\ldots+\frac{S_{k}}{2^{k}}\]
Īpašības \(f(D)>0\) un \(f\left(D_{1} \cup D_{2}\right)=f\left(D_{1}\right)+f\left(D_{2}\right)\), ja \(D_{1}\) un \(D_{2}\) nav kopēju iekšēju punktu, ir acīmredzamas. Tā kā \(\forall i S_{i} \leqslant 1\), tad \(f(D) \leq \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^{k}}=1-\frac{1}{2^{k}}<1\), un viss pierādīts.