LV.AMO.2006.12.3 lv
Zināms, ka katram no vienādojumiem \(ax^{2}+bx+c=0\) un \(Ax^{2}+Bx+C=0\) ir divas dažādas reālas saknes. Zināms arī, ka visiem reāliem \(x\) pastāv nevienādība \(\left|ax^{2}+bx+c\right| \leq\left|Ax^{2}+Bx+C\right|\). Pierādīt, ka \(a^{2}+b^{2}+c^{2} \leq A^{2}+B^{2}+C^{2}\)
Atrisinājums
No dotā seko, ka \(a \neq 0\) un \(A \neq 0\). Funkciju \(f(x)=\left|ax^{2}+bx+c\right|\) un \(F(x)=\left|Ax^{2}+Bx+C\right|\) grafiki shematiski attēloti 12.zīm.
Lai nevienādība \(|f(x)| \leq|F(x)|\) varētu izpildīties visiem reāliem \(x\), abiem vienādojumiem jābūt vienām un tām pašām saknēm. Tātad \(f(x)=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\) un \(F(x)=A\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\); tātad \(f(x)\) un \(F(x)\) koeficienti ir proporcionāli. Pie \(x=0\) iegūstam \(|c| \leqslant|C|\). Izmantojot minēto proporcionalitāti, arī \(|b| \leqslant |B|\) un \(|a| \leqslant |A|\), no kurienes seko vajadzīgais.
