Dots, ka \(x,\ y\) un \(z\) ir pozitīvi skaitļi.
(A) Pieņemsim, ka zināms: \(x+y+z \leq 3\). Vai noteikti \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq 3\)?
(B) Pieņemsim, ka zināms: \(x+y+z \geq 3\). Vai noteikti \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \leq 3\)?
(A) jā, noteikti. Ievērosim, ka \((x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\).
Tā kā pozitīviem \(\alpha\) ir spēkā \(\alpha+\frac{1}{\alpha} \geq 2 \sqrt{\alpha \cdot \frac{1}{\alpha}}=2\), tad apskatāmā reizinājuma vērtība ir vismaz \(3+3 \cdot 2=9\). No tā seko apgalvojums.
(B) nē, ne noteikti. Piemēram, var būt \(x=0,1;\ y=0,1;\ z=100\).