Atrisinājums-1

Ievērojam, ka \(1+2+\ldots+9=45\). Skaidrs, ka neviens skaitlis pats par sevi nav pārējo summa, jo pat lielākais no tiem - skaitlis \(9\) - mazāks par pārējo \(8\) summu. Pieņemsim, ka ir divi skaitļi \(x\) un \(y\), kuru reizinājums vienāds ar pārējo summu. Tad \(x+y+xy=45\), no kurienes iegūstam \((1+x)(1+y)=46=2 \cdot 23\). Tā kā \(1+x>1\) un \(1+y>1\), tad vai nu \(1+x=23\), vai \(1+y=23\), bet tas nevar būt. Ja triju skaitļu \(x,\ y,\ z\) reizinājums vienāds ar pārējo summu \((x<y<z)\), tad \(x+y+z+xyz=45\). Ir vairākas iespējas:

1. \(x=1\); tad \(y+z+yz=44,(1+y)(1+z)=45\), no kurienes \(1+y=5,1+z=9,\ y=4,\ y=8\) (citos variantos \(y\) vai \(z\) iznāk pārāk lieli).
2. \(x=2\); tad iegūstam \(y+z+2yz=43\), no kurienes \((2y+1)(2z+1)=87=3 \cdot 29\) (atrisinājuma nav).
3. \(x \geq 3\); tad \(xyz \geq 3 \cdot 4 \cdot 5=6045\) - tā nevar būt.

Līdzīgi no \(x+y+z+t+xyzt=45,\ x<y<z<t\), iegūstam variantus

1. \(x=1;\ y=2\), no kurienes \(2zt+z+t=42\), \((2z+1)(2t+1)=85=5 \cdot 17\) un \(z=2\) - pretruna.
2. ja \(x \neq 1\) vai \(y \neq 2\), tad \(xyzt \geq 1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5=60>45\) - pretruna.

Piecu skaitļu reizinājums nav mazāks par \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5=120\) - pretruna.

Tātad vienīgā atbilde ir \(\{1;\ 4;\ 8\}\) un \(\{2;\ 3;\ 5;\ 6;\ 7;\ 9\}\).