LV.AMO.2005.5.4 lv
Ir \(2005\) zelta gabali. Pierādīt, ka divus no tiem var katru sadalīt divos gabalos tā, lai pēc tam visus \(2007\) gabalus varētu sadalīt \(4\) kaudzēs \(A,\ B,\ C,\ D\) ar īpašību: kaudze \(A\) ir tikpat vērtīga, cik kaudze \(B\), bet kaudze \(C\) ir tikpat vērtīga, cik kaudze \(D\). (Kaudzes vērtību nosaka tikai kopējais zelta daudzums tajā.)
Atrisinājums
Vienu sākotnējo gabalu sadala divos vienādos; tās būs kaudzes \(A\) un \(B\). Pārējos gabalus noliek rindā un rindu sadala divās daļās tā, lai šajās daļās būtu vienādi zelta daudzumi. Tās ir kaudzes \(C\) un \(D\).
Ja, veidojot kaudzes \(C\) un \(D\), nācās sadalīt vienu gabalu divos, visi uzdevuma nosacījumi izpildīti. Ja nē (dalījuma līnija iet starp zelta gabaliem), sadalām divos gabalos jebkuru vienu gabalu, atstājot iegūtās daļas tai pašā kaudzē.