Atrisinājums

Apskatām domino kauliņu, kas pārklāj \(R\). Uzzīmējam uz tā bultiņu no \(R\) centra uz otras pārklātās (baltās) rūtiņas centru. Šī bultiņa norāda uz citu melnu rūtiņu, kas arī atrodas \(1.,\ 3.,\ \ldots,\ 2005.\) rindiņā. Sākot ar šo melno r ūtiņu, izdarām to pašu, utt. Iegūstam maršrutu pa rūtiņām. Ja tas nonāk sākotnēji nepārklātā rūtiņā, viss ir kārtībā. Pretējā gadījumā veidojas cikls. Pierādīsim, ka cikla nevar būt, un uzdevums būs atrisināts. Skaidrs, ka, ja veidojas cikls, tad sākotnēji nepārklātā rūtiņa nav tā iekšienē, tāpēc iekšienei jābūt pārklātai ar domino. Tāpēc mums pietiek pierādīt, ka apskatāmā veida ciklos noteikti iekšpusē atrodas nepāra skaits rūtiņu, jo tas dos pretrunu.

Apzīmējam rūtiņas malas garumu ar \(1\). Apskatām lauzto līniju \(L\), kas savieno ciklā iesaistīto domino centrus. Tā kā katra šīs līnijas posma garums ir pāra skaitlis, tās iekļautais laukums dalās ar \(4\). Šai laukumā ietilpst domino kauliņu laukumu daļa un iekšējais laukums. No katra domino kauliņa ir iekļauts laukums \(1\) plus \(\frac{1}{4}\) pie katra \(A\) tipa stūra vai mīnus \(\frac{1}{4}\) pie katra \(B\) tipa stūra. Tā kā \(B\) tipa stūru ir par \(4\) vairāk nekā \(A\) tipa stūru, tad šīs korekcija "samazina" laukumu par \(1\).

Atliek pamatot, ka domino skaits ciklā ir pāra skaitlis. Tā kā līnija \(L\) ir slēgta, tad, apstaigājot to, pa labi virzāmies tikpat lielu attālumu, cik pa kreisi. Tā kā katra \(L\) posma garums ir pāra skaitlis, tad horizontālo posmu kopgarums dalās ar \(4\). Tas pats attiecas uz vertikālajiem posmiem. Tāpēc \(L\) kopgarums dalās ar \(4\). Katra domino iekšienē \(L\) garums ir tieši \(2\), tātad domino skaits ir pāra skaitlis.

Tātad \(L\) ietver pāra laukumu; no tā viena daļa - nepāra laukums - ir domino sastāvdaļas. Tātad cikla iekšpusē ir nepāra laukums, t.i., nepāra skaits rūtiņu, k.b.j.