LV.AMO.2004.7.2 lv
Taisnleņķa trijstūrī \(ABC\) novilkts augstums \(CH\) pret hipotenūzu \(AB\). Punkts \(M\) atrodas uz hipotenūzas un \(BM=BC\); punkts \(N\) atrodas uz katetes \(AC\) un \(CN=CH\). Pierādīt, ka \(MN \perp AC\).
(Piezīme: drīkst izmantot to, ka katra trijstūra iekšējo leņķu lielumu summa ir \(180^{\circ}\).)
Atrisinājums
Apzīmējam \(\sphericalangle ABC=\beta\). No vienādsānu trijstūra \(CBM\) seko
\[\sphericalangle MCB=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\beta\right)=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}.\]
No taisnleņķa trijstūra \(CHB\) seko \(\sphericalangle HCB=90^{\circ}-\beta\), tāpēc\[\sphericalangle MCH=\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)-\left(90^{\circ}-\beta\right)=\frac{\beta}{2}.\]
Tā kā \(\sphericalangle ACH=90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\beta\right)=\beta\), tad \(\sphericalangle ACM=\beta-\frac{\beta}{2}=\beta\). Tāpēc \(\Delta NCM=\Delta HCM\ (m \ell m)\), un \(\sphericalangle MNC=\sphericalangle MHC=90^{\circ}\), k.b.j.