Atrisinājums

Sekojošā tabula parāda, ka var būt \(n=7\):

Parādīsim, ka nevar būt \(n=8\). Pieņemsim pretējo.

Ievērosim: mainot kolonā \(d\) par \(n\) un \(n\) par \(d\), uzdevuma nosacījumi saglabājas. Tāpēc varam uzskatīt, ka \(1.\) tiesnesis nevienu kandidātu nav atzinis par derīgu (\(1.\) rinda sastāv no \(n\)). Pieņemsim, ka \(i\)-jā rindā ir \(x_{i}\) vērtējumi " \(n\) ". Skaidrs, ka \(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{8}=32\), tāpēc \(x_{2}+x_{3}+\ldots+x_{8}=24\). \(i\)-jā rindā esošu " \(n\) " pāru ir \(C_{x_{i}}^{2}=\frac{1}{2} x_{i}\left(x_{i}-1\right)\). Tāpēc \(2.,\ 3.,\ 4.,\ \ldots,\ 8.\) rindā pavisam ir \(\frac{1}{2}\left(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\ldots+x_{8}^{2}\right)-\frac{1}{2}\left(x_{2}+\ldots+x_{8}\right)\) šādu pāru; pirmajā rindā šādu pāru ir \(C_{8}^{2}=28\). Tāpēc šo pāru pavisam ir \(\frac{1}{2}\left(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\ldots+x_{8}^{2}\right)-12+18\). No otras puses, tādu pāru pavisam ir \(C_{8}^{2} \cdot 2=56\) (uz katrām divām kolonām divi pāri). Iegūstam () \(\left\{\begin{array}{l}x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\ldots+x_{8}^{2}=80 \\ x_{2}+x_{3}+\ldots+x_{8}=24\end{array}\right.\). Bet tā ir pretruna ar nevienādību starp vidējo kvadrātisko un vidējo aritmētisko, saskaņā ar kuru jābūt \(\frac{x_{2}^{2}+\ldots x_{8}^{2}}{7} \geq\left(\frac{x_{2}+\ldots+x_{8}}{7}\right)^{2}\): pēc () tā neiznāk.